Sugárzás és szórás. ahol az amplitúdófüggvény. d 3 x J(x )e ikˆxx. 1. Számoljuk ki a szórási hatáskeresztmetszetet egy

Átírás

1 Sugázás és szóás I SZÓRÁSOK A Szóás dielektomos gömbön Számoljuk ki a szóási hatáskeesztmetszetet egy ε elatív dielektomos állandójú gömb esetén amennyiben a gömb R sugaa jóval kisebb mint a beeső fény hullámhossza! Jelölje e 0 a bejövő míg e a kimenő polaizáió iányát megadó egységvektot Polaizálatlan beeső fény esetén a bejövő polaizáióa átlagolni kell Ha a kimeneti polaizáiót nem detektáljuk akko aa pedig fel kell összegezni Végezzük el ezeket a műveleteket! 3 Számolja ki a teljes polaizálatlan hatáskeesztmetszetet! ahol az amplitúdófüggvény a(k x) = d 3 x J(x )e ikxx nem más mint az ω = k fekveniájú gömbhullám amplitúdója a θ φ szögekkel paametéezett x = (sin θ os φ sin θ sin φ os θ) iányban és ahol H sug (t x) = µ 0 ikx A sug (t x) E sug (t x) = Z 0 H sug (t x) x Z 0 = µ 0 0π Ohm a vákuum impedaniája valamint B Thomson szóás Hatáozzuk meg a pontszeű töltésen töténő szóás diffeeniális hatáskeesztmetszetét dipólus (Lamo) közelítésben! Jelölje e 0 a bejövő míg e a kimenő polaizáió iányát megadó egységvektot Számoljuk ki egy elektonon töténő szóás hatáskeesztmetszetét! Íjuk fel ezt az α = Q e πε 0 ħh (3) finomszekezeti állandóval és az elekton λ = ħh m = () 0 m Compton hullámhosszával kifejezve! Megjegyzés: A Thomson-szóás fomulája abban az esetben évényes amiko a beeső fény hullámhossza jóval nagyobb mint a Compton hullámhossz (λ λ ); ha ez nem teljesül a folyamatot a kvantumelektodinamika eszközeivel kell leíni: ez a Compton-szóás S = E sug H sug = Z 0 Hsug x és az időátlaga Poynting vektoa S = Z 0 Hsug x adódik ahonnan a tészög szeint diffeeniális sugázási teljesítmény dω = Sx = Z 0ω 3π a(k x) x Vagyis a teljes kisugázott teljesítmény P = Z 0ω 3π dω a(k x) x Elektomos dipólközelítés akko alkalmazható ha a foás d méete kisi a hullámhosszhoz képest azaz kd II ELEKTROMÁGNESES SUGÁRZÁS Az előadáson tanultak alapján egy ω köfekveniával ezgő J(x t) = J(x)e iωt Ekko a(k x) = d 3 x J(x )e ikxx A Hetz dipólus d 3 x J(x ) = iωp áameloszlás esetén a távoli zónában a sugázási teet leíó vektopoteniál alakja A sug (t x) = µ 0 π e ik iωt a(k x) Vegyünk két egymástól d távolsága lévő egyenes huzallal összekötött kisméetű gömböt amiken ±Q(t) töltés van ahol Q(t) = Q 0 sin ωt Adjuk meg a teljesítmény szögeloszlását és a teljes teljesítményt dipólközelítésben!

2 f(t) t ába Középen táplált egyenes antenna A sugázás iányát n jelöli ába Az egyenes antenna sugázási ellenállása a t = d/λ függvényében Az ábán a göbe felső és alsó aszimptotikus bukolója is látható amelyek alakja numeikusan log πt illetve log πt Ezek lassú logaitmikus növekedése azt mutatja hogy az antennát nem édemes a hullámhossznál sokkal hosszabba tevezni met ez nem javítja jelentősen a hatékonyságot B Középen táplált egyenes antenna sugázása Az antenna egy ealisztikus modellje a középen táplált egyenes antenna ( ába) aminek nagy gyakolati jelentősége van Tegyük fel hogy az áameloszlás a d hosszúságú antenna mentén lineáis (a végpontokban a töltésmegmaadás miatt eltűnik): I(t z) = I 0 e iωt z d Adjuk meg a kisugázott teljesítményt dipólközelítésben! Mennyi az antennát mint fogyasztót jellemző ún sugázási ellenállás? A dipólközelítés sak akko igaz ha a foás méete jóval kisebb mint a hullámhossz azaz d λ azaz kd Mi töténik ha az antenna méete összeméhető a hullámhosszal? Ehhez vegyünk egy fizikailag eális áam eloszlást: d I(t z) = I 0 e iωt sin k z ez tében pont a megfelelő hullámszám szeinti peiodiitást mutat és a végeken eltűnik Számoljuk ki a kisugázott teljesítmény tészög szeinti eloszlását! 3 A fentiek alapján számítsa ki a teljes kisugázott teljesítmény! Ezt édemes numeikusan elvégezni és az eedményt a P = Z 0I 0 π f (t) alakba íva a t = d λ = kd π változó függvényében ábázolni A leghatékonyabb a sugázás ha az antenna hossza kb a hullámszám egész számú többszööse (ld ába) félegészek közelében minimuma van: f (/) = 883 f () = 3383 f (3/) = 758 f () = 37 Ábázolja a teljesítmény szög szeinti eloszlását is (3 és ába)! Megjegyzés: Az antennákat általában fél hullámhossz dipólokból építik az ennek többszöösét kitevő hosszúságú antennák sugázási tee a félhullám dipól antenna teének szupepozíiójával kapható Fontos hogy a mezőket kell szupeponálni nem a teljesítményt ezét figyelembe kell venni a fáziskülönbségekből adódó eősítéseket és kioltásokat! Amiko az antenna vevőként funkionál akko ugyanezek az összefüggések íják le a bejövő jele való ézékenységének iányfüggését A vételt el lehet képzelni a sugázás folyamatának időben vett megfodításaként a Maxwell egyenletek pedig invaiánsak a t t időtüközése amennyiben ennek soán a mágneses mező és az áamsűűség előjelét is megfodítjuk

3 (a) d = λ/ (a) d = λ (b) d = 3λ/ 3 ába Az egyenes antenna teljesítményének szögfüggése félhullámnak megfelelő hossz esetén Az antenna a vízszintes tengelyen helyezkedik el Az elemeket megfelelően elhelyezve sokféle iánykaakteisztikával endelkező antenna készíthető az antennák tevezésének komoly szakiodalma van C Mágneses dipólsugázás I Az elektomos és mágneses dipólusok sztatikában megfeleltethetők egymásnak mégpedig ahonnan E e = 3(px)x p B πε 0 3 m = µ 0 3(mx)x m π 3 B m = E e p m Ezen egyszeű analógia alapján sejtse meg a mágneses dipólus sugázási teét az elektomos dipólusból kiindulva! d P m dω = Z 0ω m 0 3π sin θ és P m = Z 0ω m 0 π Ezt összevetve az elektomos dipólus eedményével d P e dω = Z 0ω p 0 3π sin θ és P e = Z 0ω p 0 π látható hogy a mágneses eset a p m helyettesítéssel áll elő az elektomosból észletes számolás is megeősíti Ezt a II E alatti - - (b) d = λ ába Az egyenes antenna teljesítményének szögfüggése egész hullámnak megfelelő hossz esetén Az antenna a vízszintes tengelyen helyezkedik el D Magnetá lassulása A magnetá fogó neutonsillag mágneses mezővel amit egy z tengely köül Ω szögsebességgel fogó a tengellyel α szöget bezáó m nagyságú mágneses dipólusként modellezhetünk Mivel a fogás két x és y mentén π/ fáziseltééssel ezgő m sin α dipólus szupepozíiójának felel meg a kisugázott elektomos és mágneses mező a két komponens összege A teljes Poynting vekto E sug = E + E H sug = H + H S = E H + E H + E H + E H

4 és az ebben szeeplő vegyes tagok időátlaga a fáziskülönbség miatt zéus Tehát a kisugázott enegia egyszeűen kétszeese egy Ω köfekveniával ezgő m sin α nagyságú dipólusénak: P m = Z 0Ω m sin α 6π = µ 0Ω m sin α 6π 3 Az SGR806-0 öntgen pulzá peiódusideje T = 75 s és lassulási átája Ṫ = 8 0 Feltéve hogy a neutonsillag tömege és sugaa a standad M = M = kg és R = 0 km étékű besülje meg a mágneses nyomatékot a fogási enegia veszteségét a kisugázott teljesítménnyel azonosítva! m = 6MR 3 5µ 0 Ω Ṫ = 3MR 3 5πµ 0 T Ṫ = Am A fentiek alapján besülje meg a sillag felszínén a maximális mágneses indukiót! a dipólus mágneses teéből B max = µ 0 m π R = T 3 Mekkoa a maximális mágneses indukióhoz tatozó enegiasűűség? Megjegyzések: w = µ 0 B = 0 8 J/m 3 Az enegiasűűsége kapott éték óiási az ehhez tatozó tömegsűűség w = 0 kg/m 3 Ez mintegy 7 nagyságenddel nagyobb minden ismet szilád anyag sűűségénél (pl ólom 3 0 kg/m 3 aany 93 0 kg/m 3 ) de még így is 6 nagyságenddel kisebb a neutonsillagot alkotó anyag sűűségénél ami a maganyag sűűségével vethető össze Azaz a neutonsillag köül szinte vágni lehet a mágneses mezőt: a sillagtól mintegy 000 km-es távolságban lesz a a hozzátatozó tömegsűűség a szilád anyagokéhoz hasonló B max étéke majdnem 0-sze nagyobb mint az ún kitikus mágneses mező: B it = 0 9 T Amennyiben a vákuumban a mágneses indukió ezt az étéket meghaladja spontán elekton-poziton pákeltés indul be Ugyanakko a neutonsillagot köülvevő magnetoszféát alkotó elativisztikus plazma ezt az effektust el tudja nyomni (ún foe-fee eletodynamis ) 5 ába Oszilláló köáam paaméteezése E Mágneses dipólsugázás II Tegyük fel hogy egy huokban egy váltakozó áam keing I(t) = I 0 os ωt Az egyszeűség kedvéét vegyük a hukot egy kis méetű b sugaú könek ami legyen az oigóban és a tengelye legyen z iányú Számolja ki a kisugázott teljesítményt feltéve hogy a köáam méete jóval kisebb mint az ω köfekveniához tatozó hullámhossz! A szükséges közelítések: közelítés (távolzóna): b közelítés (dipólus): b /ω 3 közelítés (távolzóna): /ω a etadált vektopoteniál A( t) = µ 0I 0 π os ω(t /) ds A köpályát a φ központi szöggel paaméteezve (5 ába) az integál a következő alakba íható A( t) = µ 0I 0 b π ŷ os ω(t /) os φ dφ ha az x tengelyt úgy vesszük fel hogy az x pont az xz síkba esik Ekko és = x sin θ + ẑ os θ b = xb os φ + ŷb sin φ = b = + b b sin θ os φ közelítés (távolzóna): b ekko b sin θ os φ + b sin θ os φ os ω t os ω t + ωb sin θ os φ

5 5 közelítés (dipólus): b /ω kihasználásával os ω t os ω t ωb sin θ os φ sin ω t Ezzel fel lehet íni az integált (eldobva a másodendű tagot): A( t) = µ 0I 0 b π ŷ dφ os φ os ω t + b sin θ os φ os ω t ω sin ω t és elvégezve az integálokat: π 0 dφ os φ = 0 kapjuk hogy π 0 dφ os φ = π A( t) = µ 0m 0 sin θ ŷ t π os ω ω sin ω t ahol m 0 = I 0 πb Ha az nem az xz síkban van akko ŷ helyébe a gömbi e φ bázisvektot (a szélességi köök éintőjét ) kell íni 3 közelítés (távolzóna): /ω felhasználásával az első tag elhanyagolható tehát µ 0 m 0 ω sin θ A = e φ sin ω t π ahol m 0 = I 0 πb a ezgő mágneses dipólus amplitúdója azaz gömbi komponensekben A = A θ = 0 A φ = µ 0m 0 ω sin θ sin ω t π A mágneses mező a távolzónában B =ot A = Aφ sin θ A θ sin θ θ φ + A sin θ φ Aφ e θ + (A θ ) A e φ θ e µ 0 m 0 ω sin θ = e θ os ω t π ahol a gömbi otáió fomuláját használtuk és eldobtuk az / tagokat az elektomos mező pedig µ 0 m 0 ω sin θ E = t A = e φ os ω t π Ebből kiindulva má felíható a sugázási zónában a Poynting vekto S = m0 ω sin θ E B = e Z 0 os ω t µ 0 π a felületegységen kiáamló enegia időátlaga pedig ahonnan S = Z 0m 0 ω 3π sin θ dω = Z 0m 0 ω 3π sin θ Megjegyzés: Az elektomos dipólsugázása vonatkozó dω = Z 0ω p 0 3π sin θ eedménnyel összevetve azt látjuk hogy a mágneses dipólsugázás teljesítménye megkapható az p 0 m 0 helyettesítéssel A kettő aánya P m P e = m0 p 0 Vegyünk egy ugyanakkoa méetű elektomos és mágneses dipólust Ekko p 0 = Q 0 d m 0 = I 0 πb ugyanakko az elektomos dipóla jellemző áam I 0 = ωq 0 és a méetek egyezéséből d πb Ebből pedig P m ωb P e De a dipólközelítés szeint b /ω ωb/ tehát tipikusan az elektomos dipólus tag dominál kivéve ha valamiét éppen eltűnik pl mint az itt tágyalt oszilláló köáam esetén: d 3 x J(x ) = I ds = 0